DataBaser.Net: 기술통계학II

1 개요

2 집중경향치(measure of central tendency)

2.1 산술평균(arithemtic mean)

3 중앙치(median)

4 최빈치(mode)

5 대표치의 선택

6 산포도의 측정치

7 범위(range)

8 중간범위(mid-range)

9 평균절대편차(mean absolute deviation:MAD)

10 분산(variance)과 표준편차(standard deviation)

11 체비셰프의 정리

12 변동계수

13 위치의 측정치

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1 개요 #

표와 그래프는 자료분포에 관한 전체적인 정보를 시각적으로 제시하는 기능을 수행
자료의 분포가 내포하는 특성들을 하나의 요약 수치(summary measure)로 나타낼 때 통계분석이 의미 있는 결과
요약된 하나의 수치를 요약통계량 or 기술 수치(descriptive measure)라고 함
자료의 특성을 요약하는 지표
- 집중경향치
- 산포도의 측정치
- 위치의 측정치
- 형태의 측정치

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2 집중경향치(measure of central tendency) #

정의

자료의 집중되어 있는 중심위치(center)
자료의 중심으로서 자료 전체를 대표할 수 있는 값
종류
- 산술평균
- 중앙치
- 최빈치
- 기타등등

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2.1 산술평균(arithemtic mean) #

자료 A = {x₁, x₂,...x_n}}이 있을 경우

평균 = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

단, 각 개별치가 똑같이 중요다든지 또는 두 개 이상의 집단을 비교하는 경우 각 집단의 평균이 똑같이 중요하다는 가정하에 사용할 수 있다. 만약 중요성에 차이가 있다면 가중평균(weighted mean)을 계산하게 된다. 예를 들어 다음과 같이 학점을 받은 경우

학점	과목수
A=4	2
B=3	1
C=2	1
D=1	1

평균 = (2*4 + 1*3 + 1*2 + 1*1) / 5 = 2.8

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3 중앙치(median) #

median은 양적 자료에만 사용된다. 자료를 순서대로 나열했을 때에 중앙에 위치한 관측치를 말한다. 중앙값 또는 중위수라고도 말한다. 중앙값을 구하는 방법은 다음과 같다.

자료를 크기 순서로 나열한다.
홀수이면, (n+1)/2 번째 값이 메디안
짝수이면, n/2번째와 (n/2 + 1) 번째의 평균값이 메디안이다.

대량의 데이터라면 굳이 복잡하게 따지지 말고, 그냥 n/2번째 값이 메디안이라고 생각해도 된다. 어차피 대충 맞으면 되는 것이니..

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4 최빈치(mode) #

최빈치는 자료의 수가 가장 많은 관측치를 말한다. 두 개의 최빈치를 갖는 경우는 쌍봉(bimodal), 세 개 이상의 최빈치를 갖는 경우는 다봉(multimodal)이라고 한다.

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5 대표치의 선택 #

중앙치와 최빈치	평균
자료의 일부만 이용	자료크기와 도수까지 고려(모든 자료의 정보를 이용)
수학연산 불가능	수학연산 가능
가중평균 구할 수 없음	가중평균 구할 수 있음

평균은 분산을 계산하고, 모평균 추정, 가설검정 등 통계분석의 대표치로서 가장 널리 사용된다. 하지만 극단적인 이상치(outlier)가 있는 경우에는 크게 영향받는 평균보다는 이에 덜 민감한 중앙치를 대표치로써 사용한다. 자료의 분포가 비대칭적인 경우, 평균과 함께 중앙치를 대표치로 사용한다.

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6 산포도의 측정치 #

집중경향치는 자료의 중심을 구하는 것. 분산도(dispersion)이라고도 함.
자료의 흩어짐 정도는 구할 수 없음.
수치들의 크고 작음을 변동(variation)이라고 함
산포도는 수치들의 변동의 정도를 측정
산포도가 크면 클수록 평균과 같은 대표치의 신뢰도는 낮아짐
분산의 요약특성치
- 범위
- 중간범위
- 평균절대편차
- 분산
- 표준편차
- 변동계수

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7 범위(range) #

최대치 - 최소치
두 극단 관측치만 가지고 계산하므로 다른 관측치에 대해서는 아무것도 말해주지 않음
자료속의 극단적인 이상치(outlier)에 크게 영향 받음.

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8 중간범위(mid-range) #

자료의 중간 50%인 3사분위수 - 1사분위수
자료의 중간 80%인 90백분위수 - 10백분위수

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9 평균절대편차(mean absolute deviation:MAD) #

편차(deviation), 평균으로부터 떨어진 정도 (편차의 합은 항상 0)
편차의 합이 0 이되므로 이를 극복하기 위해서 모든 편차의 절대값(|편차|)에 대한 평균 -> 평균절대편차
절대값을 계산해야 하므로 통계분석에서는 별로 사용하지 않음

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10 분산(variance)과 표준편차(standard deviation) #

분산, 주어진 각 자료가 그들 자료의 평균주위로 얼마나 집중되어 있는가를 측정
- 분산이 작으면, 변동성이 적음
- 분산이 크면, 변동성이 많음(평균 주위에 분포됨)
모분산 = 편차(평균-자료)의 제곱(squared deviation) / N
표본분산 = 편차(평균-자료)의 제곱(squared deviation) / (N-1)
모분산이 N이고, 표본분산이 N-1인 이유
- 표본분산에 N을 사용하면 모분산을 과소평가하여 편의추정치(biased estimate)를 제공
- 그러므로 어느 한쪽으로 치우치게 하지 않기 위해서 N-1을 사용한다.
분산은 제곱을 하므로 원 자료보다 큰 단위로 표시가 됨. 그래서 제곱근을 구함 -> 표준편차

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11 체비셰프의 정리 #

경험법칙(자료의 분포가 종모양으로 좌우대칭 형태이면)

-1σ ~ 1σ에는 약 68%의 자료가 있다.
-2σ ~ 2σ에는 약 95%의 자료가 있다.
-3σ ~ 3σ에는 약 99%의 자료가 있다.

만약 정규분포가 아니거나 분포를 모를 경우에는 체비셰프의 정리(Chebyshev's theorem)가 적용됨

-kσ ~ kσ 내에 포함될 자료의 비율은 적어도 전체 자료의 1 - (1/k²)이다. 단, k > 1

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12 변동계수 #

두 집단의 단위가 다르거나(연령과 달러의 표준편차 비교) 평균이 큰 차이를 보이는 경우 표준편차를 비교 할 수 없다. 이런 경우 상대적 표준편차 또는 변동계수 (coefficient of variation: CV)를 이용한다.

CV = 표준편차 / 평균

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Contents

1 개요 #

2 집중경향치(measure of central tendency) #

2.1 산술평균(arithemtic mean) #

3 중앙치(median) #

4 최빈치(mode) #

5 대표치의 선택 #

6 산포도의 측정치 #

7 범위(range) #

8 중간범위(mid-range) #

9 평균절대편차(mean absolute deviation:MAD) #

10 분산(variance)과 표준편차(standard deviation) #

11 체비셰프의 정리 #

12 변동계수 #

13 위치의 측정치 #