#title 몬티 홀 문제(monty hall problem)

몬티 홀 문제는 조건부 확률에 대한 유명한 예다. 네이버나 구글에서 검색을 하면 친절한(?) 설명들이 많다. 문제는 다음과 같다. 

{{{
문 3개가 있다. (각각의 문은 A, B, C 라고 적혀 있다고 생각해 보자)
문 뒤에는 염소 또는 자동차가 있다. 염소는 2마리, 자동차는 1대가 배치되어 있다.
당신이 선택한 문 뒤에는 것은 당신의 소유가 되는 기회를 얻었다.

당신은 문 1개를 골랐다.
이 때, 염소가 있는 다른 한개의 문을 열어 당신에게 보여줬다.
당신은 선택한 문을 바꿀것인가?
}}}

어려운 문제다. 얼핏 생각하면 문 3개 중에 자동차가 있을 확률은 1/3이다. 1/3이란 확률은 위의 문제를 무한 반복했을 때에 나타날 수 있는 확률이다. 하지만 이런 생각은 빈도주의적 접근(frequentist approach)이다. 빈도주의적 접근은 '무한 반복 시행'을 가정으로 한다. 이렇게도 생각 할 수 있다. 

 * A에 자동차가 있는데 선택을 바꿀 경우 -> 후회
 * A에 자동차가 없는데 선택을 바꿀 경우 -> 만족

'만족'할 확률 1/2. 이것도 '무한 반복' 시행 했을 때의 확률이다. 그러므로 빈도주의적 접근을 하면 어떤 선택을 하던지 같은 확률이므로 굳이 선택을 바꾸는 수고를 하지 않아도 된다. 하지만, 위 문제를 다시 보자. 어디에도 무한 반복이나 확률 분포를 추정할 수 있을 만큼의 충분한 시행이라는 내용은 없다. 이런 기회가 인생에 몇 번이나 오겠는가? 많아야 한 두번일 것이다. 빈도주의적 접근에서의 가정(assumption)이 현실과는 매우 다름을 알 수 있다.  

베이즈주의 접근(bayesian approach)을 해보자. 당신은 문 A를 선택했다. 그럼 A에 자동차가 있을 확률이 높은가? 아니면 B 또는 C에 자동차가 있을 확률이 높은가? 당연히 B 또는 C에 자동차가 있을 확률이 높다. 그런데 내가 선택한 문 A를 열기도 전에 친절하게도 B, C 중에 염소가 있는 문 1개를 더 열어서 보여주고 선택을 바꿀 기회도 주는 것이 아닌가! 선택을 바꾸면 자동차가 당신의 소유가 될 확률이 높아진 것이다. 정리하자면..

 * A에 자동차가 있을 확률: 1/3
 * B 또는 C에 자동차가 있을 확률: 2/3
  * B를 열어서 염소가 있음을 보여줬다면 C에 자동차가 있을 확률은 2/3
  * C를 열어서 염소가 있음을 보여줬다면 B에 자동차가 있을 확률은 2/3

attachment:몬티홀문제/monty_hall.png

만약 당신이 '합리적'이라면 주어진 조건에서 가장 확률이 높은 선택을 해야 한다. '이성'을 가진 인간이니 우리는 선택을 바꾸어야 한다. 하지만, A에 자동차가 있을 수도 있다는 불안감은 없앨 수 없다. 왜냐하면 '감성'도 가진 인간이니까.  

자, 당신은 선택을 바꿀 것인가? 
(개인적으로는 이런 짜증나는 기회가 없었으면 좋겠다)

이런 생각도 해 볼 수 있다.

이건희(삼성전자 회장)와 만수르(아부다비 왕가의 석유 재벌), 이재학(가난한 글쓴이)는 베이지안이다. 이 세 명은 몬티 홀 문제를 접했다. 문 뒤에는 쉐보레 스파크(경차) 1대와 염소 2마리가 배치되어 있다. 이들이 선택을 바꿀까? 쩝.. 이건희와 만수르는 염소를 더 갖고 싶어 할지도 모른다.

2014.11.12 추가
몬티 홀 문제는 그 자체도 문제다. 왜냐하면 어쨌든 선택은 두 개 중에 하나이니까. 
문제를 이렇게 냈어야 한다. 

 ''1번: A를 선택할래? 1/3 확률''
 ''2번: 아니면 B,C를 선택할래? 2/3확률''

인간이 합리적이라면 2/3확률을 선택해야 한다. 그런데도 불구하고 1/3쪽 확률을 택하는 사람도 많을 것이다. 왜냐하면 1/3과 2/3의 차이가 별로 안나기 때문일 것이다. 아마도 66%의 확률은 그리 높은 것은 아닐수도 있고, 합리적으로 선택했지만 결과적으로 잘못된 선택이라면 인지부조화(우리의 신념 간에 또는 신념과 실제로 보는 것 간에 불일치나 비일관성이 있을 때 생기는 것, 네이버 실험심리학용어사전)로 우리는 괴로울 것을 알기 때문일 것이다. 

만약 1/4과 3/4라면어떨까? 만약 1/5과 4/5 라면? 1/n, (n-1)/n 이렇게 계속 숫자를 늘려나가면 2번쪽으로 선택이 쏠릴 것이다. n이 100이라도 1번을 선택하는 사람이 있을 것이다. 인간은 알 수 없다는 사실만 알 수 있다.