#title 베이즈 정리
[[TableOfContents]]

==== 정의 ====
 * 두 확률 변수의 사전 확률(prior probability)와 사후 확률(posterior probability)사이의 관계를 나태는 정리
 * 새로운 자료가 제시되면 사후 확률을 갱신함.

원인(C), 결과(R) 일 때, 
 * P(C) - 원인이 발생할 확률, 사전 확률
 * P(R|C) - 원인 C가 발생했을 때, 결과 R이 될 확률, 우도(likelihood)
 * P(C|R) - 결과 R이 발생했을 때, 원인 C가 될 확률, 사후 확률

베이즈 정리
 * ''사전 확률 P(C)와 우도 P(R|C)를 알면 사후 확률 P(C|R)을 알 수 있다''
 * ''사전 확률 P(C)와 사후 확률 P(C|R)를 알면 우도 P(R|C)을 알 수 있다''

==== 약간 다르게1 ====
P(H|D) = P(D|H)P(H) / P(D)
 * 데이터 D의 관점에서 봤을 때, 가설 H의 확률을 수정해 준다.
 * P(H): 사전 확률
 * P(H|D): 사후 확률
 * P(D|H): 우도
 * P(D): 한정 상수


==== 약간 다르게2 ====
P(T|E) = P(E|T)P(T) / P(E)
 * P(T): 이론
 * P(T|E): 사후 확률
 * P(E|T): 이론이 이랬는데, 실험에서는 이랬다.
 * P(E): 실험

ex) 100번 동전을 던졌는데, 70번 앞면이 나왔다. 이론상 앞면이 나올 확률은 0.5다.

P(T=0.5|E=0.7) = P(E=0.7|T=0.5)P(T=0.5) / P(E=0.7)

==== 약간 다르게3 ====
P(H|E) = P(E|H)P(H) / (P(E|H)P(H) + P(E|~H)P(~H))

 * P(H): 가설이 참일 확률
 * P(~H): 가설이 거짓일 확률
 * P(E|~H): 가설이 거짓일 경우 이 증거가 참일 확률
 * P(E|H): 가설이 참일 경우 이 증거가 실현될 확률
==== 예제: 흡연율 조사 ====
통계청의 자료를 보니 청소년 남자의 흡연율은 50%이고, 여자의 경우 25%(실제는 안 그렇다)였다. A고등학교에서 학생 주임 선생님이 흡연율을 조사하려고 한다. 2학년 1반에 30명이 있다. 남자는 20명, 여자는 10명이다. 메모지를 나눠주고 성별과 흡연여부를 물었다. 

흡연의 사전 확률
 * 남자 = 50%
 * 여자 = 25%

메모지를 거둬 펼쳐았는데 다음과 같은 결과가 나왔다.
 * 남자, 흡연 = 18명 (18/30, 60%)
 * 여자, 흡연 = 10명 (10/20, 50%)

사후 확률은
|| || 흡연 || 비흡연 ||
|| 남자 || 0.5*0.6 || 0.5*0.4 ||
|| 여자 || 0.3*0.5 || 0.7*0.5 ||

다음과 같이 계산된다.
|| || 흡연 || 비흡연 || 합계 ||
|| 남자 || 0.3 || 0.2 || 0.5 ||
|| 여자 || 0.15 || 0.35 || 0.5 ||

|| || 흡연 || 비흡연 || 합계 ||
|| 남자 || 0.3/0.5 || 0.2/0.5 || 0.5 ||
|| 여자 || 0.15/0.5 || 0.35/0.5 || 0.5 ||

첫 데이터를 받아 보고 계산된 사후 확률이다. 
|| || 흡연 || 비흡연 || 합계 ||
|| 남자 || 0.6 || 0.4 || 1.0 ||
|| 여자 || 0.3 || 0.7 || 1.0 ||

학생 주임 선생님은 아직도 흡연율이 남자가 50%, 여자가 25%라고 생각할까? 
조금은 선생님의 생각이 바뀌어 있을 것이다.

이제 2학년 2반으로 가서 다시 메모지를 나눠주고 흡연여부를 조사하자. 
단, 2학년 2반의 사전 확률은 2학년 1반 데이터가 반영된 다음이 사전 확률이다.

|| || 흡연 || 비흡연 ||
|| 남자 || 0.6 || 0.4 ||
|| 여자 || 0.3 || 0.7 ||

나 같으면, 그냥 남자는 60%, 여자는 50% 흡연한다고 생각할텐데..
엇.. 통계청의 자료가 없을 때 이것이 사전확률이겠군.

==== 참고자료 ====
 * http://ezstat.snu.ac.kr/textbook_sources/chapter_09.pdf
 * http://musicetc.wikidot.com/bayes-theorem
 * http://dokim.tistory.com/177
 * http://blog.daum.net/crexy/11051499
 * http://russellacademia.com/50191505937
 * http://blog.naver.com/lucifer246?Redirect=Log&logNo=188508160