DataBaser.Net: 이항분포

Contents

1 베르누이의 시행
2 베르누이 시행에 대한 가정
3 이항분포의 정의
4 이항분포의 예
5 확률밀도함수
6 누적확률
7 사분위수
8 난수
9 2항분포의 적합도 검정
10 확률계산 예제1
11 확률계산 예제2

1 베르누이의 시행 #

성공 또는 실패
사고 또는 무사고
양품 또는 불량품
병에 감염 또는 비감염
동전을 던져 앞면 나옴 또는 뒷면 나옴
찬성 또는 반대

2 베르누이 시행에 대한 가정 #

각 시행은 성공과 실패의 두 가지 사건만을 가진다.
각 시행에서 성공할 확률은 p, 실패할 확률은 q = 1 - p를 가진다.
각 시행은 서로 독립으로 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 미치지 않는다.

3 이항분포의 정의 #

확률변수 X의 분포가 이항 분포를 따를 경우 X ~ Binomial(n,p)로 표기하며, 그 확률질량함수(PMF) 식은 다음과 같다.
이항분포.jpg

이항분포.jpg

n: 베르누이 시행의 반복횟수
p: 각 시행에서 성공할 확률(0 < p < 1)
x: n번 시행중 성공의 횟수

4 이항분포의 예 #

동전던지기를 10번 시행할 경우 앞면이 나온 횟수
신약을 복용한 환자 중 병이 치유된 환자수
출하된 제품 중 불량품의 수
도루를 20번 시도할 경우 도루성공 횟수

5 확률밀도함수 #

plot(dbinom(0:100, size=100, prob=0.2))

plot(dbinom(0:100, size=100, prob=0.5))

6 누적확률 #

plot(pbinom(0:100, size=100, prob=0.5))

7 사분위수 #

plot(qbinom(c(0.2, 0.5, 0.8), size=10, prob=0.5))

8 난수 #

plot(rbinom(0:100, size=100, prob=0.5))

9 2항분포의 적합도 검정 #

> # 100명 중 후보 A 지지:67명, 후보 B지지:33명 이항검증 Exact binomial test
> binom.test(67, 100, p = 1/2, alternative = "two.sided")

        Exact binomial test

data:  67 and 100 
number of successes = 67, number of trials = 100, p-value =
0.0008737
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5 
95 percent confidence interval:
 0.5688272 0.7608015 
sample estimates:
probability of success 
                  0.67 

>

10 확률계산 예제1 #

1. 주사위를 두 번 던져 모두 1이 나올 확률은?

> #주사위 2회 던짐. size=2
> #1이 나올 확률 = 1/6
> dbinom(1:2, size=2, prob=1/6)
[1] 0.27777778 0.02777778
>

주사위를 1회 던져 1이 나올 확률은 0.27777778이며, 2회 던져 모두 1이 나올 확률은 0.02777778(약 3%)로 확률이 낮은 것을 알 수 있다.

2. A전염병에 걸려 회복될 수 있는 확률이 0.4일 때, 15명이 병에 걸린 경우

- 확률변수 X의 평균과 분산?

평균 = 15 * 0.4 = 6 (기대값)
분산 = 15 * 0.4 * 0.6 = 3.6 (평균과 얼만큼 떨어져 있는가? SUM((값 - 평균)²) / 개수
표준편차 = SQRT(3.6)

<평균을 구하는 다른 방법1: 그래프를 이용한 방법>
대충 6이 가장 높은 꼭지점이라는 것을 알 수 있다.

<평균을 구하는 다른 방법1: 난수활용>
난수를 활용해도 평균이 대충 6과 근사한다는 것을 알 수 있다.

> mean(rbinom(1:10000, size=15, prob=0.4))
[1] 6.0037
> mean(rbinom(1:10000, size=15, prob=0.4))
[1] 5.9804
> mean(rbinom(1:10000, size=15, prob=0.4))
[1] 6.0008
> mean(rbinom(1:10000, size=15, prob=0.4))
[1] 6.0188
> mean(rbinom(1:10000, size=15, prob=0.4))
[1] 5.9974
>

- 5명이 회복될 확률

> #15명이 병에 걸림 size=15
> #5명이 회복될 확률 
> dbinom(1:5, size=15, prob=0.4)
[1] 0.00470185 0.02194197 0.06338790 0.12677580 0.18593784
> max(dbinom(1:5, size=15, prob=0.4))
[1] 0.1859378
>

- 적어도 10명이 회복될 확률

> 1 - max(pbinom(1:9, size=15, prob=0.4))
[1] 0.0338333
>

- 3명에서 8명이 회복될 확률

> bin <- pbinom(1:8, size=15, prob=0.4)
> 3명이상이므로 2까지 빼면 된다.
> bin[8] - bin[2]
[1] 0.8778386
>

3. 4지선다형 10문제를 임의로 찍어 3개 이하의 정답을 맞출 확률은?

> pbinom(1:3, size=10, prob=1/4)
[1] 0.2440252 0.5255928 0.7758751
>

0.7758751. 약 78% 확률이다.

4. 주사위 3개를 동시에 던질 때의 확률

> dbinom(1:3, size=3, prob=1/6)
[1] 0.34722222 0.06944444 0.00462963
>

주사위 1개만 1이 나올 확률은 0.34722222 이고, 2개만 1이 나올 확률은 0.06944444 이고, 3개가 1이 나올 확률은 0.00462963이다.

11 확률계산 예제2 #

5. 총 10문제, 5지선다형(5개의 답 가운데 1개만 정답) 찍을 때 9개를 맞출 확률은?

> dbinom(1:9, size=10, prob=1/5)[9]
[1] 4.096e-06

6. 동전을 던져서 앞면이 나오면 오른쪽으로 1단위 이동하고, 뒷면이 나오면 왼쪽으로 1단위 이동할 때

- 처음에 원점에서 오른쪽 2단위 거리에 있다 할 때, 원점으로 돌아올 확률

> pbinom(1:10, size=10, prob=1/2)
 [1] 0.01074219 0.05468750 0.17187500 0.37695313 0.62304687 0.82812500
 [7] 0.94531250 0.98925781 0.99902344 1.00000000
> bin <- pbinom(1:10, size=10, prob=1/2)
> #오른쪽으로 4단위, 왼쪽으로 6단위 움직이면 원점
> bin[6] - bin[5]
[1] 0.2050781
> #또는
> bin <- dbinom(1:10, size=10, prob=1/2)
> bin
 [1] 0.0097656250 0.0439453125 0.1171875000 0.2050781250 0.2460937500
 [6] 0.2050781250 0.1171875000 0.0439453125 0.0097656250 0.0009765625
> #왼쪽 4단위 이동 확률 또는 오른쪽 6단위 이동할 확률만 구하면 된다.
> bin[4]
[1] 0.2050781
> bin[6]
[1] 0.2050781

- 처음에 원점에 있을 때, 이 시행으로 원점에서 2단위 이내에 있을 확률

> #원점에서 2단위 이내에 있는 경우
> #왼쪽:5, 오른쪽:5
> #왼쪽:4, 오른쪽:6
> #왼쪽:6, 오른쪽:4
> bin <- dbinom(1:10, size=10, prob=1/2)
> sum(bin[4:6])
[1] 0.65625

8. 화투는 총 48장이다. 12종이며, 각 4장씩 짝을 이룬다. 1매씩 4번 뽑을 때에 송학(일)을 3장 뽑을 확률

> dbinom(1:3, size=4, prob=4/48)[3]
[1] 0.002121914

조낸 낮은 확률이다. 이런 도박은 절대 하지 말아야겠구먼..