#title Poisson분포
[[TableOfContents]]

==== 정의 ====
 * 2항분포에서 시행횟수(n)가 충분히 크고, 발생률(p)가 비교적 작운 경우, 2항분의 극한에서의 확률분포
 * np <= 5가 되는 경우 잘 적합된다. 
 * lmada의 값이 커짐에 따라 정규분포에 근사.
 * 다수의 시행에서 발생수가 극히 적게 일어나는 발생횟수의 분포에 적합

==== 응용 ====
 * 전화를 걸 때, 다른 전화번호에 연결될 횟수의 분포
 * 보통 횡단보도에서 발생하는 교통사고 수
 * 방사성 물질에서 나오는 알파 입자가 어떤 장소에 있을 수
 * 왼손잡이 수
 * 어느 공장에서 사고 발생건수
 * 어느 기간중에 일어나는 지진의 발생횟수
 * 생명보험계약자의 어느 일정기간 중의 사망자수

==== 예제 ====
불량률이 2%인 제품더미에서 임의로 100개를 추출할 때, 그 안에 불량품이 3개 이상 포함될 확률
{{{
> # dpois(x, lambda, log = FALSE), lamda = 시행횟수(n)*확률(p)
> dpois(0:2, 2)
[1] 0.1353353 0.2706706 0.2706706
> 1 - sum(dpois(0:2, 2))
[1] 0.3233236
> 
}}}

빵 100개를 만드는 데 건포도 1,000개를 섞기로 하였다. 빵 1개에 건포도가 10 ~ 15개 포함될 확률 
{{{
> sum(dpois(10:15, 1000/100))
[1] 0.4933299
> 
}}}

왼손잡이의 비율을 1/10이라 할 때, 10명 가운데 왼손잡이가 1명 이상 있을 확률
{{{
> 1 - dpois(0, 10 * 1/10)
[1] 0.6321206
> 
}}}

무작위하게 250명을 선출 했을 때, 1월 1일에 출상한 사람이 꼭 k명일 확률을 구하려 한다. 250명 중 1월 1일에 태어난 사람이 4명일 확률(250에 비해 1/365는 작은수, Poisson분포다)
{{{
> dpois(0:4, 250 * 1/365)[4]
[1] 0.02699779
> 
}}}

어느 장소의 공중전화는 1일에 평균 5회 사용된다. 1일의 사용횟수 X가 Poisson 분포를 따를 때, 평균과 표준편차를 구하라. 또 1회도 사용 안될 확률을 구하라
{{{
> #Poisson 분포에서는 평균 = 분산이고, 평균=5 이므로..
> sqrt(5)
[1] 2.236068
> #1회도 사용 안될 확률
> dpois(0, 5)
[1] 0.006737947
> 
}}}

어느 공장에서 N=100 일간에 사고의 발생건수를 조사하니 다음 표와 같았다. 1일 사고 건수 x가 Poisson 분포에 잘 적합되는지를 살펴라.
||1일 사고건수x||일 수f||
||0||53||
||1||31||
||2||12||
||3||2||
||4||1||
||5||1||
||6||0||

{{{
> #평균
> lamda <- (0*53 + 1*31 + 2*12 + 3*2 + 4*1 + 5*1 + 6*0) / 100
> lamda
[1] 0.7
> #확률
> dpois(0:6, lamda)
[1] 4.965853e-01 3.476097e-01 1.216634e-01 2.838813e-02 4.967922e-03 6.955091e-04 8.114273e-05
> #기대도수
> dpois(0:6, lamda)[1] * 100
[1] 49.65853
> dpois(0:6, lamda)[2] * 100
[1] 34.76097
> dpois(0:6, lamda)[3] * 100
[1] 12.16634
> dpois(0:6, lamda)[4] * 100
[1] 2.838813
> dpois(0:6, lamda)[5] * 100
[1] 0.4967922
> dpois(0:6, lamda)[6] * 100
[1] 0.06955091
> 
}}}
발생일수 f와 기대도수의 차가 작다. Poisson 분퐁 잘 적합하고 있다.

어느 서비스계에 평균 한 시간에 손님이 2명 도착한다. 30분간 2명 도착할 확률을 구하고, 30분간에 한 사람도 도착하지 않을 확률을 구하여라. 여기서 이러한 손님을 '''Poission 도착'''(대기행렬이론에서 시간간격 t에 n명이 어떤 서비스계에 도착할 확률)이라 한다. 
{{{
> lamda <- 2 * 30/60
> dpois(0, lamda)
[1] 0.3678794
}}}